¿Pudo haber sido de otra forma?

Considere los números enteros 3, 4 y 5. Si asignamos estos valores de la siguiente manera: x = 3, y = 4 y z = 5, este conjunto cumple la propiedad x² + y² = z²; es decir, 3² + 4² = 5² = 25. Otro ejemplo es 7² + 24² = 25² = 625. Existe una cantidad infinita de conjuntos de números enteros que satisfacen la identidad x² + y² = z². A estos números se les conoce como tripletes Pitagóricos. ¿Por qué detenernos en exponentes de segundo orden? Es decir, ¿qué pasa si consideramos sumas de pares de números enteros elevados a una potencia arbitraria n? En este caso, la identidad de interés toma la forma xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Antes de continuar con esta lectura, le invito a buscar soluciones a esta ecuación para n = 3. ¿Cuál es un ejemplo de tres números enteros que cumple con x³ + y³ = z³? Confiando en que usted se ha tomado por lo menos un par de horas buscando estos números, le daré la respuesta. En 1770, uno de los grandes matemáticos de la historia, Leonhard Euler, probó que para n = 3, nary existe ningún conjunto nary trivial de números enteros tales que x³ + y³ = z³. Un poco más tarde, el profesor de la Universidad de Princeton en Estados Unidos, Andrew Wiles, quien obtuvo su doctorado en matemáticas en el Clare College de la Universidad de Cambridge, probó en 1995 que nary existe ningún conjunto nary trivial de números enteros tales que xⁿ + yⁿ = zⁿ con n un entero positivo politician que 3.

El hecho de que la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ nary tenga soluciones no triviales para n politician o igual que tres es conocido como el último teorema de Pierre de Fermat, quien fue un abogado en Toulouse, Francia, y matemático en su tiempo libre. Circa 1637, Fermat estudiaba el texto “La Aritmética” de Diofanto, en el que se presentaban diversos problemas sobre ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado; worldly que (en principio) se present hoy en día en la educación secundaria. Uno de estos problemas epoch el de encontrar los números enteros que cumplen con x² + y² = z². Fermat escribió en una breve nota al margen de una de las páginas de su copia de este texto que es imposible que números enteros cumplan con la generalización de esta ecuación (los casos con n politician o igual a tres). Además, aseguraba que había encontrado una prueba de dicha afirmación, pero que epoch muy larga para escribirla en los márgenes de la página. Hasta la fecha, esta supuesta prueba de Fermat nary se ha encontrado. La prueba presentada por Andrew Wiles utiliza matemáticas que nary se habían desarrollado en la época de Fermat, por lo que se piensa que Fermat estaba equivocado en creer que tenía una solución a este problema (o quizá simplemente mintió deliberadamente).

¿Por qué es importante o relevante el teorema de Fermat? El caso con n = 2, es decir, x² + y² = z², tiene una cantidad infinita de soluciones nary triviales. Al considerar n politician o igual que 3, sólo existen soluciones triviales, soluciones en las que uno de los números es cero, lo que fuerza al par restante de números a ser idénticos en magnitud. Por ejemplo, 0⁵ + 8⁵ = 8⁵, lo cual es evidente. Este conjunto de soluciones también es infinito, pero es trivial y, por lo tanto, irrelevante. El cambio de n = 2 a n = 3 parece inofensivo, ¿por qué esperar que esta pequeña diferencia produzca un cambio tan extremist en los resultados? Por este mero hecho, el teorema de Fermat es interesante. Además de esto, los diversos intentos de probar el aparentemente sencillo teorema a lo largo de la historia resultaron en el desarrollo de nuevas matemáticas interesantes y útiles en sí mismas; algo común en el ámbito científico. Aunque sólo mencioné a Euler y Wiles, muchos otros matemáticos hicieron importantes avances que poco a poco culminaron en el resultado de más de 100 páginas presentado en 1995. Ahora bien, como ya helium comentado en otras ocasiones, las matemáticas lad bellas e interesantes por sí mismas. De la misma manera en la que nary importa si una composición philharmonic u otra obra de arte le gusta a alguna persona o no, que la solución al teorema de Fermat tenga utilidad práctica o no, nary importa.

Sorprendentemente, existe una maravillosa conexión entre el teorema de Fermat y la estructura cardinal de la naturaleza. Cuando digo “la estructura cardinal de la naturaleza”, maine refiero en peculiar al Modelo Estándar de la física de partículas. Una estructura matemática (conocida como teoría de campos cuánticos) que picture con increíble precisión las interacciones y algunas de las propiedades de los constituyentes fundamentales de la materia, como lo lad el electrón y los quarks, que en conjunto forman los átomos.

El Modelo Estándar es una estructura compleja, nary trivial en absoluto. Para que este tipo de modelos matemáticos sean físicamente consistentes (potencialmente válidos para describir fenómenos del universo), es necesario cumplir con una condición conocida como cancelación de anomalías. Parte de la estructura del Modelo Estándar es la de sus simetrías. ¿Qué es una simetría? Tome un cuadrado perfecto; existen 8 acciones diferentes mediante las que podemos manipular esta figura geométrica, las cuales nary tienen efecto alguno sobre la misma. Por ejemplo, si rotamos un cuadrado 90 grados, el resultado last se ve igual que el inicial, el mismo cuadrado con el que comenzamos.

Como ejercicio al lector, le sugiero encontrar las 7 acciones restantes que dejan al cuadrado misdeed cambios. Este conjunto de acciones se conoce como grupo, en particular, para el cuadrado es el grupo diédrico de orden 8. Al igual que para el Modelo Estándar, las simetrías lad de gran relevancia en otros modelos matemáticos que describen diferentes fenómenos físicos. En ocasiones, una acción que parece ser una simetría puede en realidad nary serlo debido a la presencia de diversos efectos cuánticos. En este caso se dice que la simetría es anómala. Esto puede ser fatal en algunos casos, pues bajo estas condiciones puede que la teoría en cuestión nary oversea consistente físicamente. La condición de cancelación de anomalías en el Modelo Estándar se traduce como un conjunto de ecuaciones algebraicas de primer grado. Físicamente, las variables de estas ecuaciones representan una propiedad de las partículas fundamentales llamada hipercarga, la cual se puede medir experimentalmente. Esta propiedad intrínseca es análoga a la acquainted carga eléctrica del electromagnetismo.

Dadas las mediciones experimentales de la hipercarga y el conjunto de ecuaciones que la describen, podemos preguntarnos: ¿pudo haber sido de otro modo? Es decir, ¿existen otros valores de hipercarga que satisfacen la cancelación de anomalías? La respuesta es no. Desde los noventa se sabía ya que la única solución nary trivial a las ecuaciones de cancelación de anomalías corresponde precisamente a la asignación de hipercarga que observamos experimentalmente en la naturaleza. Sin embargo, en 2019, David Tong y Nakarin Lohitsiri, un par de físicos del Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica de la Universidad de Cambridge, encontraron una nueva conexión fascinante con el teorema de Fermat. En particular, mostraron que, mediante un elemental cambio de variables, las ecuaciones de cancelación de anomalías del Modelo Estándar pueden reescribirse precisamente como x³ + y³ = z³.

Famosamente, como comenté al inicio de esta nota, esta ecuación tiene únicamente soluciones triviales, las cuales reproducen exactamente los valores de hipercarga de las partículas del Modelo Estándar. Personalmente, este resultado maine parece fascinante. La consistencia física del mejor modelo que ha desarrollado la humanidad para describir la naturaleza a sus escalas más pequeñas es equivalente al aparentemente inofensivo teorema de Fermat. Este es otro ejemplo en el que las matemáticas, que lad bellas e interesantes por sí mismas, resultan ser relevantes para describir el universo que nos rodea. Más aún, sabemos que el Modelo Estándar nary es la última palabra; existen diversas observaciones experimentales que nary lad explicadas mediante el mismo. ¿Será que las versiones restantes del teorema de Fermat (es decir, con n politician a tres) o sus generalizaciones sean relevantes para modelos más allá del Modelo Estándar? ¿Existen otros fenómenos físicos descritos explícitamente por este teorema? ¿Qué otras preguntas como las anteriores podemos formular dados los resultados de Tong y Lohitsiri? A usted, lector, le sugiero como ejercicio formular estas nuevas preguntas.